题目内容

已知点G是△ABC的重心，
AG
=λ
.
AB
+μ
AC
（ λ，μ∈R），若∠A=120°，
.
AB
•
AC
=-2，则| 
AG
 |的最小值是（　　）
A、
3
3
B、
2
2
C、
2
3
D、
3
4
分析：由三角形重心的性质可得，
AG
= 
2
3
AD
=
1
3
(
AB
+
AC
)，设|
AB
|=x，|
AC
|=y，由向量数量积的定义可知
AB
•
AC
=|
AB
||
AC
|cos120°=-2，可得xy=4，然后根据向量数量积的性质可得||
AG
|=
1
3
x2+y2-4
，结合基本不等式可求
解答：解：由向量加法的三角形法则及三角形重心的性质可得，
AG
= 
2
3
AD
=
1
3
(
AB
+
AC
)
∵∠A=120°，
.
AB
•
AC
=-2，则根据向量的数量积的定义可得，
AB
•
AC
=|
AB
||
AC
|cos120°=-2
设|
AB
|=x，|
AC
|=y
∴|
AB
||
AC
|=4 即xy=4
|
AG
|=
1
3
|
AB
+
AC
|=
1
3
(
AB
+
AC
)2
=
1
3
AB
2+
AC
2+2
AB
• 
AC
=
1
3
x2+y2-4

x2+y2≥2xy=8（当且仅当x=y取等号）
∴|
AG
|≥
2
3
即|
AG
|的最小值为
2
3

故选：C
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点评：此题是一道平面向量与基本不等式结合的试题，解题的关键是利用平面向量的数量积的性质把所求的问题转化为|
AG
|=
1
3
|
AB
+
AC
|=
1
3
(
AB
+
AC
)2
=
1
3
AB
2+
AC
2+2
AB
• 
AC
=
1
3
x2+y2-4
，还利用了基本不等式求解最值．
练习册系列答案
相关题目
已知点G是△ABC的重心，A（0，-1），B（0，1）．在x轴上有一点M，满足|
MA
|=|
MC
|，
GM
=λ
AB
(λ∈R)（若△ABC的顶点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则该三角形的重心坐标为G(
x1+x2+x3
3
，
y1+y2+y3
3
)）．
（1）求点C的轨迹E的方程．
（2）设（1）中曲线E的左、右焦点分别为F1、F2，过点F2的直线l交曲线E于P、Q两点，求△F1PQ面积的最大值，并求出取最大值时直线l的方程．
已知点G是△ABC的重心，
AG
=λ
AB
+μ
AC
(λ，μ∈R)，那么λ+μ=
 
；若∠A=120°，
AB
•
AC
=-2，则|
AG
|的最小值是
 
．
已知点G是△ABC的重心，点P是△GBC内一点，若
AP
=λ
AB
+μ
AC
，则λ+μ的取值范围是（　　）
A、(
1
2
，1)
B、(
2
3
，1)
C、(1，
3
2
)
D、（1，2）
（文）已知奇函数f（x）满足f（x+3）=f（x），当x∈（0，1）时，函数f（x）=3x-1，则f(log
1
3
36)=
 

（理）已知点G是△ABC的重心，O是空间任意一点，若
OA
+
OB
+
OC
=λ
OG
，则λ的值是
 
．
给出下列六个命题：
①sin1＜3sin
1
3
＜5sin
1
5

②若f'（x0）=0，则函数y=f（x）在x=x0取得极值；
③“?x0∈R，使得ex0＜0”的否定是：“?x∈R，均有ex≥0”；
④已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且
AM
=x
AB
，
AN
=y
AC
，则
1
x
+
1
y
=3；
⑤已知a=
∫
π
0
sinxdx，点(
3
，a)到直线
3
x-y+1=0的距离为1；
⑥若|x+3|+|x-1|≤a2-3a，对任意的实数x恒成立，则实数a≤-1，或a≥4；
其中真命题是
①③④⑤
①③④⑤
（把你认为真命题序号都填在横线上）

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