题目内容

已知等比数列{a_n}的前n项和为Sn，S₃=14，S₆=126．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设 $数学公式$ …+ $数学公式$ ，试求T_n的表达式．

解：（1）∵S₃=a₁+a₂+a₃=14，S₆=a₁+a₂+…+a₆=126
∴a₄+a₅+a₆=112，∵数列{a_n}是等比数列，
∴a₄+a₅+a₆=（a₁+a₂+a₃）q³=112
∴q³=8∴q=2
由a₁+2a₁+4a₁=14得，a₁=2，
∴a_n=a₁q^n-1=2ⁿ
（2）由（1）知， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
又a₁=2，a₂=4，所以数列{ $\text{[math]}$ }是以 $\text{[math]}$ 为首项， $\text{[math]}$ 为公比的等比数列．
∴Tn= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
分析：（1）根据S₃=14，S₆=126．可求出a₄+a₅+a₆=112，再利用等比数列各项之间的关系，求出公比q，把S₃=a₁+a₂+a₃=14中的每一项用a₁和q表示，求出a₁，代入等比数列的通项公式即可
（2）由（1）知， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，得出数列{ $\text{[math]}$ }是以 $\text{[math]}$ 为首项， $\text{[math]}$ 为公比的等比数列．利用公式求解即可．
点评：本题考查等比数列的判定，通项公式、前n项和的计算，考查方程思想，转化、计算能力．