题目内容

已知函数 $数学公式$ ，x∈R，又 $数学公式$ ，若|α-β|的最小值为 $数学公式$ ，则正数ω的值为

A.
2
B.
1
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

D
分析：先利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简整理，进而f（α），f（β）求得2ωα- $\text{[math]}$ 和2ωβ- $\text{[math]}$ ，进而二者相减求得2ωα-2ωβ 的表达式，进而根据|α-β|的最小值为 $\text{[math]}$ 代入，根据ω为正整数，则可取k₁=k₂=1，求得答案．
解答： $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ cos2ωx+ $\text{[math]}$ sin2ωx
=cos（2ωx- $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$
f（α）=- $\text{[math]}$
∴cos（2ωα- $\text{[math]}$ ）=-1；
∴2ωα- $\text{[math]}$ =（2k₁+1）π；
∵f（β）= $\text{[math]}$
∴cos（2ωβ- $\text{[math]}$ ）=0；
∴2ωβ- $\text{[math]}$ =k₂π+ $\text{[math]}$ ；
∴2ωα-2ωβ=（2k₁-k₂）π+ $\text{[math]}$ ；
∴2ω•|α-β|=（2k₁-k₂） π+ $\text{[math]}$ ；
∵|α-β|≥ $\text{[math]}$ ，则
∴2ω≤ $\text{[math]}$ [（2k₁-k₂）π+ $\text{[math]}$ ]= $\text{[math]}$ [4（2k₁-k₂）+2]
ω≤ $\text{[math]}$ [2（2k₁-k₂）+1]
取k₁=k₂=1，
则可知ω= $\text{[math]}$
故选D．
点评：本题主要考查了两角和公式和二倍角公式的化简求值．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．