Question

在图一所示的平面图形中，是边长为 的等边三角形，是分别以为底的全等的等腰三角形，现将该平面图形分别沿折叠，使所在平面都与平面垂直，连接,得到图二所示的几何体，据此几何体解决下面问题.

（1）求证：;
（2）当时，求三棱锥的体积；
（3）在（2）的前提下，求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）通过计算体积证明。
（2）二面角是钝二面角，.

解析试题分析：（1）证明:如图，

分别取AC、BC中点M、N，连接FM,EN,MN，是全等的等腰三角形，,，又所在平面都与平面垂直，平面ABC,平面ABC,，四边形EFMN是平行四边形，,又,,同理可得：,,故是边长为的正三角形，.···
过M作MQ于Q,解得MQ=，即为M到平面ABD的距离，由（1）可知平面MNEF平面ABD,E到平面ABD的距离为，，
.···
分别以NA、NB、NE所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
依题意得，，， ，，
，，

设是平面ADF的一个法向量，
则有,即，
令，得，
又易知是平面ABD的一个法向量，
设二面角的平面角为，
有，
又二面角是钝二面角，.···（12分）
考点：本题主要考查立体几何中的平行关系、垂直关系，体积计算、角的计算。
点评：中档题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤。利用向量则能简化证明过程，对计算能力要求高。解答立体几何问题，另一个重要思想是“转化与化归思想”，即注意将空间问题转化成平面问题。