Question

已知函数f （x）是定义在R上的奇函数，若f（x）在区间[1，a]（a＞2）上单调递增，且f （x）＞0，则以下不等式不一定成立的是（　　）

• A、f （a）＞f （0）
• B、f （

  a+1

  2

  ）＞f （

  a

  ）
• C、f （

  1-3a

  1+a

  ）＞f （-a）
• D、f （

  1-3a

  1+a

  ）＞f （-2）

Answer 1

分析：对于A，根据函数f （x）是定义在R上的奇函数，可得f（0）=0，利用f （x）在区间[1，a]（a＞2）上单调递增，且f （x）＞0，可得f（a）＞f（0）；
对于B，利用基本不等式可得

a+1

2

＞

a

，结合f （x）在区间[1，a]（a＞2）上单调递增，即可得到结论；
对于C，先确定1＜

3a-1

1+a

＜a，利用f （x）在区间[1，a]（a＞2）上单调递增，函数f （x）是定义在R上的奇函数，即可得到结论；
对于D，由a＞2，可得

3a-1

1+a

-2=

a-3

1+a

，分类讨论，即可得到结论．

解答：解：对于A，∵函数f （x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，∵f （x）在区间[1，a]（a＞2）上单调递增，且f （x）＞0，∴f（a）＞f（0），即A成立；
对于B，∵a＞2，∴

a+1

2

＞

a

，∵f （x）在区间[1，a]（a＞2）上单调递增，∴f （

a+1

2

）＞f （

a

），即B成立；
对于C，∵a＞2，∴

3a-1

1+a

-a=

-(a-1)2

1+a

＜0，∴

3a-1

1+a

＜a
∵

3a-1

1+a

-1=

2(a-1)

1+a

＞0，∴

3a-1

1+a

＞1
∵f （x）在区间[1，a]（a＞2）上单调递增，
∴f（

3a-1

1+a

）＜f（a）
∴-f（

3a-1

1+a

）＞-f（a）
∵函数f （x）是定义在R上的奇函数，∴f（

1-3a

1+a

）＞f（-a），即C成立；
对于D，∵a＞2，∴

3a-1

1+a

-2=

a-3

1+a

若2＜a＜3，则

a-3

1+a

＜0，∴

3a-1

1+a

＜2，∵f （x）在区间[1，a]（a＞2）上单调递增，
∴f（

3a-1

1+a

）＜f（2）
∴-f（

3a-1

1+a

）＞-f（2）
∵函数f （x）是定义在R上的奇函数，∴f（

1-3a

1+a

）＞f（-2），即D成立；
若a≥3，则

a-3

1+a

≥0，∴

3a-1

1+a

≥2，∵f （x）在区间[1，a]（a＞2）上单调递增，
∴f（

3a-1

1+a

）≥f（2）
∴-f（

3a-1

1+a

）≤-f（2）
∵函数f （x）是定义在R上的奇函数，∴f（

1-3a

1+a

）≤f（-2），即D不成立；
故选D．

点评：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．