Question

【题目】设是实数，函数．

（Ⅰ）讨论函数的单调区间；

（Ⅱ）设定义在上的函数在点处的切线方程为，当时，若在内恒成立，则称点为函数的“平衡点”．当时，试问函数是否存在“平衡点”？若存在，请求出“平衡点”的横坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）当时，的减区间为；当时，的减区间为，增区间为；（Ⅱ）不存在.

【解析】

（Ⅰ）求导，得到，讨论的范围得到答案.

（Ⅱ）求得切线方程为，令

，计算得到当时，，故没有平衡点。

（I）,

当时，在上恒成立；

当时，在时，，在时，，

当时，的减区间为

当时，的减区间为，增区间为.

（II）设为函数图象上一点

则函数在点处的切线方程为

即,

令－

则

当时，，当时，

即函数 在上减函数，在上为增函数，

当时，

当时，,

因此，函数 在上不存在“平衡点”.