Question

8．已知向量$\overrightarrow{m}$=（0，-1），向量$\overrightarrow{n}$=（cosA，2cos²$\frac{C}{2}$），A，B，C是△ABC的三个内角，其对边分别为a，b，c，a²+c²-b²=ac，a=1，求|$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$|的取值范围．

Answer 1

分析 由余弦定理结合已知求出B，进一步得到A+C，再由向量的坐标加法运算求得$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$的坐标，把|$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$|转化为三角函数求得范围．

解答 解：在△ABC中，∵a²+c²-b²=ac，∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{ac}{2ac}=\frac{1}{2}$，
∵0°＜B＜180°，∴B=60°，即A+C=120°．
又$\overrightarrow{m}$=（0，-1），$\overrightarrow{n}$=（cosA，2cos²$\frac{C}{2}$），
∴$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$=（cosA，2cos²$\frac{C}{2}$-1）=（cosA，cosC）
$|\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}{|}^{2}$=cos²A+cos²C=1+$\frac{1}{2}$（cos2A+cos2C）=1+cos（A+C）cos（A-C）=1-$\frac{1}{2}$cos（2A-120°）=1+$\frac{1}{2}$sin（2A-30°），
∵-30°＜2A-30°＜210°，
∴-$\frac{1}{2}$＜sin（2A-30°）≤1，
∴$\frac{3}{4}$＜1+$\frac{1}{2}$sin（2A-30°）≤$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜|$\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}$|≤$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
∴|$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$|的取值范围为（$\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{\sqrt{6}}{2}$]．

点评 本题考查了平面向量数量积的运算，训练了三角函数的恒等变换，解答此题的关键是注意角的范围，是中档题．