Question

（本小题满分14分）已知函数处取得极值．   

（I）求实数的值；

（II）若关于x的方程在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围；

（III）证明：对任意正整数n，不等式都成立．

Answer 1

解：（I）    ……………………………………………2分

时，取得极值，

    …………………………………………………………………3分

故，解得a=1，

经检验a=1符合题意．……………………………………………………………4分

（II）由a=1知

得 令

则上恰有两个不同的实数根等价于

在[0，2]上恰有两个不同的实数根．…………………5分   ……………6分

当上单调递增

当上单调递减．

依题意有

  …………………9分

（III）的定义域为  ……………10分

由（1）知   ………………………………………11分

令（舍去），单调递增；

当x>0时，单调递减．上的最大值．（12分）

（当且仅当x=0时，等号成立）………13分

对任意正整数n，取得，  14分
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m