Question

已知函数f(x)＝(ax2－2x＋a)·e－x.

(1)当a＝1时，求函数f(x)的单调区间；

(2)设g(x)＝－－a－2，h(x)＝x2－2x－ln x，若x＞1时总有g(x)＜h(x)，求实数a的取值范围．

 

Answer 1

（1）单调递增区间为(1,3)，单调递减区间为(－∞，1)，(3，＋∞)．（2）－≤a≤

【解析】(1)当a＝1时，函数f(x)＝，其定义域为R.

f′(x)＝

由f′(x)＞0，得1＜x＜3，由f′(x)＜0，得x＜1或x＞3，

∴函数f (x)的单调递增区间为(1,3)，单调递减区间为(－∞，1)，(3，＋∞)．

(2)∵f′(x)＝，

∴g(x)＝－－a－2＝ax2－2(a＋1)x，

令φ(x)＝g(x)－h(x)＝x2－2ax＋ln x(x＞1)，

当x＞1时总有g(x)＜h(x)等价于φ(x)＜0在(1，＋∞)上恒成立．

φ′(x)＝(2a－1)x－2a＋＝.

①若a＞，令φ′(x)＝0得x1＝1，x2＝.

当x2＞x1＝1，即＜a＜1时，在(1，x2)上φ′(x)＜0，则φ(x)单调递减；

在(x2，＋∞)上φ′(x)＞0，则φ(x)单调递增．

故φ(x)的值域为[φ(x2)，＋∞)，不合题意，舍去．

当x2≤x1＝1，即a≥1时，同理可得φ(x)在(1，＋∞)上单调递增，

故φ(x)的值域为(φ(1)，＋∞)，不合题意，舍去．

②若a≤，即2a－1≤0时，在区间(1，＋∞)上恒有φ′(x)＜0，则φ(x)单调递减，φ(x)＜φ(1)＝－a－≤0，

∴－≤a≤