Question

已知函数f(x)=

-x2+2ax， x≤1 ax+1，  x＞1

，若?x₁，x₂∈R，x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂）成立，则实数a的取值范围是

（-∞，1）∪（2，+∞）

．

Answer 1

分析：由题意可得，若?x₁，x₂∈R，x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂）成立，则说明f（x）在R上不单调，分a=0及a≠0两种情况分布求解即可求得结论．

解答：解：若?x₁，x₂∈R，x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂）成立，则说明f（x）在R上不单调．
①当a=0时，f（x）=

-x2，x≤1 1，x＞1

满足题意
其其图象如图所示，满足题意

②当a＜0时，函数y=-x²+2ax的对称轴x=a＜0，其图象如图所示，满足题意

③当a＞0时，函数y=-x²+ax的对称轴x=a＞0，其图象如图所示，要使得f（x）在R上不单调

则只要二次函数的对称轴x=a＜1，或

a≥1 -12+2a×1＞a×1+1

∴0＜a＜1或a＞2，
综合得：a的取值范围是（-∞，1）∪（2，+∞）．
故答案为：（-∞，1）∪（2，+∞）．

点评：本题考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．