Question

已知直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中,∠ABC=90°,AB=BC=a,AA₁=2AB,M为CC₁上的点.

(1)当M在C₁C上的什么位置时,B₁M与平面AA₁C₁C所成的角为30°?

(2)在(1)的条件下求点B到平面AMB₁的距离.

Answer 1

解析:(1)取A₁C₁的中点N₁,连结B₁N₁,N₁M,

B₁N₁⊥面A₁C₁CA,即B₁N₁⊥MN₁,

则∠B₁MN₁为B₁M与面A₁C₁CA所成的角.

设C₁M=x,B₁N₁=a,

sin∠B₁MN₁=.

解得x=a,则C₁M=C₁C,

∴当M为CC₁的中点时,B₁M与平面AA₁C₁C所成的角为30°.

(2)取BB₁的中点K,连结MK,

则MK⊥面A₁B₁BA,

过K作KS⊥AB₁,

连结MS,过K作KH⊥MS.

KH⊥面AB₁MKH的长为K到面AMB₁的距离.

由BB₁=2B₁K,则B到面AMB₁的距离为K到面AMB₁的距离的2倍.

在Rt△MKS中,MK=a,KS=,

KH=,

∴K到面AB₁M的距离为.

∴B到面AMB₁的距离为.