Question

22.已知复数z­­­₀=1－mi（m>0），z=x+yi和w=x′+y′i，其中x，y，x′，y′均为实数，i为虚数单位，且对于任意复数z，有w=·，|w|=2|z|.

（1）试求m的值，并分别写出x′和y′用x、y表示的关系式；

（2）将（x，y）作为点P的坐标，（x′，y′）作为点Q的坐标，上述关系式可以看作是坐标平面上点的一个交换；它将平面上的点P变到这一平面上的点Q.已知点P经该变换后得到的点Q的坐标为（，2），试求点P的坐标；

（3）若直线y=kx上的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上，试求k的值.

Answer 1

22.

解：（1）由题设，|w|=||=|z₀||z|=2|z|，∴|z₀|=2，

于是由1+m²=4，且m>0，得m=.                        

因此由x′+y′i=·=x+y+（x－y）i.

得关系式.                              

 

（2）由题意，有                    

解得.

即P点的坐标为（，）.                    

 

（3）∵直线y=kx上的任意点P（x，y），其经变换后的点Q（x+y，x－y）仍在该直线上，

∴x－y=k（x+y），

即（k+1）y=（－k）x.                   

解法一：∵当k=0时，y=0，y=x不是同一条直线，

∴k≠0，

于是=.                           

即k²+2k－=0，

解得k=或k=－.   

 

解法二：取直线y=kx上的点（1，k），

得（k+1）k=－k，

即k²+2k－=0，

得k=或k=－.                         

经检验，y=或y=－x确实满足条件。