Question

（2010•桂林二模）已知f（x）=

1

3

ax³-2x²+cx的导函数的值域为[0，+∞），是

a

c2+4

+

c

a2+4

的最小值为（　　）

• A．0
• B．

  1

  4

• C．

  1

  2

• D．1

Answer 1

分析：先求函数的导函数f′（x）=ax²-4x+c，由导函数的值域为[0，+∞），可得a＞0，且ac=4，利用均值定理a+c≥2

ac

=4，再将所求代数式通分化简为关于（a+c）的函数，最后设t=a+c利用换元法，结合导数求得函数的最小值

解答：解：f（x）=

1

3

ax³-2x²+cx的导数为f′（x）=ax²-4x+c
∵导函数的值域为[0，+∞），
∴

a＞0 △=16-4ac=0

解得：

a＞0 ac=4

∵

a

c2+4

+

c

a2+4

=

a3+c3 +4(a+c)

(c2+4)(a2+4)

=

a3+c3 +4(a+c)

a2c2+4(a2+c2)+16

=

(a+c)[(a+c)2-3ac+4]

16+4(a+c)2-8ac+16

=

(a+c)[(a+c)2-3ac+4]

4(a+c)2

=

(a+c)3-8(a+c)

4(a+c)2

=

a+c

4

-

2

a+c

设t=a+c≥2

ac

=4，∴t∈[4，+∞）
∴

a

c2+4

+

c

a2+4

=

t

4

-

2

t

设g（t）=

t

4

-

2

t

  t∈[4，+∞）
g′（t）=

1

4

+

2

t2

＞0，
∴g（t）在 t∈[4，+∞）为增函数
∴g（t）∈[

1

2

，+∞）
∴

a

c2+4

+

c

a2+4

的最小值为

1

2

故选C

点评：本题考察了导函数的求法，二次函数图象和性质，均值定理的应用以及换元法求函数的值域的方法