题目内容

已知集合M={f（x）|f（x）+f（x+2）=f（x+1），x∈R}，g(x)=sin
πx
3
．
（1）判断g（x）与M的关系，并说明理由；
（2）M中的元素是否都是周期函数，证明你的结论；
（3）M中的元素是否都是奇函数，证明你的结论．
（1）∵g(x)+g(x+2)=sin
πx
3
+sin(
πx
3
+
2π
3
)=2sin
π
3
(x+1)cos
π
3

=sin
π
3
(x+1)=g(x+1)∴g（x）∈M…（6分）
（2）因g（x）是周期为6的周期函数，猜测f（x）也是周期为6的周期函数
由f（x）+f（x+2）=f（x+1），得f（x+1）+f（x+3）=f（x+2），
∴f（x）+f（x+2）+f（x+1）+f（x+3）=f（x+1）+f（x+2）
∴f（x）+f（x+3）=0，∴f（x+3）=-f（x），
∴f（x+6）=-f（x+3）=f（x），得证f（x）是周期为6的周期函数，
故M中的元素都是周期为6的周期函数．…（12分）
（3）令h(x)=cos
πx
3
，可证得h（x）+h（x+2）=h（x+1）…（16分）
∴h（x）∈M，但h（x）是偶函数，不是奇函数，
∴M中的元素不都是奇函数．…（18分）
练习册系列答案
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8、已知集合M={f（x）|f（-x）=f（x），x∈R}；N={f（x）|f（-x）=-f（x），x∈R}；P={f（x）|f（1-x）=f（1+x），x∈R}；Q={f（x）|f（1-x）=-f（1+x），x∈R}；若f（x）=（x-1）3，x∈R，则下列关系中正确的序列号为：
④

①f（x）∈M②f（x）∈N③f（x）∈P④f（x）∈Q
已知集合M={f（x）|f2（x）-f2（y）=f（x+y）•f（x-y）}，x，y∈R，有下列命题：
①若f1(x)=
1，x≥0
-1，x＜0
则f1（x）∈M；
②若f2（x）=sinx，则f2（x）∈M；
③若f（x）∈M，y=f（x）的图象关于原点对称；
④若f（x）∈M，则对任意不等的实数x1、x2，总有
f1(x)-f2(x)
x1-x2
＜0；
⑤若f（x）∈M，则对任意的实数x1、x2，总有f(
x1+x2
2
)≤
f1(x)+f2(x)
2
．
其中是正确的命题有
 
．（写出所有正确命题的编号）
（2013•南充三模）已知集合M={f（x）|f2（x）-f2（y）=f（x+y）•f（x-y），x，y∈R}，有下列命题
①若f1（x）=
1，x≥0
-1，x＜0
则f1（x）∈M；
②若f2（x）=2x，则f2（x）∈M；
③若f3（x）∈M，则y=f3（x）的图象关于原点对称；
④若f4（x）∈M则对于任意不等的实数x1，x2，总有
f4(x1)-f4(x2)
x1-x2
＜0成立．
其中所有正确命题的序号是
②③
②③
．
已知集合M={f（x）|在定义域内存在实数x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立}．
（1）函数f（x）=
1
x
是否属于集合M？说明理由．
（2）证明：函数f（x）=2x+x2∈M．
（3）设函数f（x）=lg
a
2x+1
∈M，求实数a的取值范围．
（2007•上海模拟）已知集合M={f（x）|f（x）+f（x+2）=f（x+1），x∈R}，g(x)=sin
πx3
．
（1）判断g（x）与M的关系，并说明理由；
（2）M中的元素是否都是周期函数，证明你的结论；
（3）M中的元素是否都是奇函数，证明你的结论．

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