Question

（必做题）
已知等式（x²+2x+2）⁵=a₀+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+…+a₁₀（x+1）¹⁰，其中a_i（i=0，1，2，…，10）为实常数．求：
（1）

10

n=1

a_n的值；
（2）

10

n=1

na_n的值．

Answer 1

分析：（1）利用（x²+2x+2）⁵=a₀+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+…+a₁₀（x+1）¹⁰，采用赋值法可求得

10

n=1

a_n的值；
（2）对已知关系式两边求导后，令x=0即可求

10

n=1

na_n的值．

解答：解：（1）∵（x²+2x+2）⁵=a₀+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+…+a₁₀（x+1）¹⁰，
∴令x=-1得：1⁵=a₀，即a₀=1，
再令x=0，有a₀+a₁+a₂+…+a₁₀=2⁵，
∴

10

n=1

a_n=a₁+a₂+…+a₁₀=2⁵-a₀=31；
（2）∵（x²+2x+2）⁵=a₀+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+…+a₁₀（x+1）¹⁰，
∴两边求导得：5（x²+2x+2）⁴•（2x+2）=a₁+2a₂（x+1）+3a₃（x+1）²+…+10a₁₀（x+1）⁹，
令x=0得：5×2⁴×2=a₁+2a₂+3a₃+…+10a₁₀，
即

10

n=1

na_n=a₁+2a₂+3a₃+…+10a₁₀
=160．

点评：本题考查二项式定理的应用，考查数列的求和，突出考查赋值法与导数法的运用，对已知关系式两边求导是难点，考查综合分析与转化的能力，属于难题．