Question

已知函数y＝x＋有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在(0，]上为减函数，在[，＋∞)上是增函数．

(1)如果函数y＝x＋在(0，4]上是减函数．在[4，＋∞)上是增函数，求实常数b的值；

(2)设常数c∈[1，4]，求函数f(x)＝x＋，x∈[1，2]的最大值和最小值；

(3)当n是正整数时，研究函数y(x)＝xⁿ＋(c＞0)的单调性，并说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由函数y＝x＋的性质知：y＝x＋在[0，2b]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数，∴＝4，即2b＝16＝24，∴b＝4． 　　(2)∵c∈[1、4]　∴∈[1、2]． 　　又∵f(x)＝x＋在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数．∴在x∈[1，2]上，当x＝c时，函数取得最小值2．又f(1)＝1＋c，f(2)＝2＋　f(2)－f(1)＝1－． 　　当∈[1，2)时，f(2)－f(1)＞0，f(2)＞f(1) 　　此时f(x)的最大值为f(2)＝2＋． 　　当c＝2时f(2)－f(1)＝0，f(2)＝f(1)． 　　此时f(x)的最大值为f(2)＝f(1)＝3． 　　当x∈(2，4]时，f(2)－f(1)＜0，f(2)＜f(1)，此时f(x)的最大值为f(1)＝1＋c． 　　(3)g′(x)＝nxn－1－ 　　令g′(x)＝0，得x2n＝c，∴x＝±． 　　又∵x≠0，列表分析，如下： 　　于是函数y(x)在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数． 　　当n是正奇数时，g(x)＝xn＋在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是奇函数，于是g(x)在(－∞，－]上是增函数，在[－，0]上是减函数； 　　当n是正偶数时，g(x)＝xn＋在(－∞，0)∪(0，＋∞)是偶函数，于是g(x)在(－∞，－]上是减函数，在[－，0]上是增函数． 　　思路分析：本题设计新颖，层层递进，是演绎推理的典型应用．要正确理解题意根据已有的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法进行证明，推理，寻找题目中的大前提和小前提．