Question

设x，y满足约束条件

x+y≥3 x-y≥1 2x-y≤3

，若目标函数z=

x

a

+

y

b

（a＞0，b＞0）的最大值为10，则5a+4b的最小值为

8

．

Answer 1

分析：画出可行域、，将目标函数变形，数形结合求出目标函数的最大值，得到a，b的关系，两式相乘凑成利用基本不等式的条件，利用基本不等式求最值

解答：解：画出可行域
将z=

1

a

x+

1

b

y变形为y=-

b

a

x+bz，则bz为直线在y轴上的截距
∵b＞0，则当截距越大，z也越大，结合图象可知将其平移至点A时纵截距最大，z最大
由

x-y=1 y=2x-3

可得A（4，5）
将A（4，5）代入z=

1

a

x+

1

b

y得到z最大值

4

a

+

5

b

=10
∴5a+4b=

1

10

×(

4

a

+

5

b

)•（5a+4b）
=

1

10

（40+

16b

a

+

25a

b

）≥

1

10

(40+2

16b a • 25a b

)=8
当且仅当

16b

a

=

25a

b

即b=

5a

4

即a=

4

5

，b=1时取等号
故答案为8

点评：本题考查线性规划问题、画出可行域、将目标函数赋予几何意义、数形结合求最值、利用基本不等式求最值