Question

（2008•奉贤区二模）在圆中有结论“经过圆心的任意弦的两端点与圆上任意一点（除这两个端点外）的连线的斜率之积为定值-1”是正确的．通过类比，对于椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，我们有结论“

经过椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)中心的任意弦的两端点与椭圆上除这两个端点外的任意一点P的连线的斜率之积为定值-

b2

a2

”成立．

Answer 1

分析：类比于已知圆中结论，应考查经过椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)中心的任意弦的两端点与椭圆上除这两个端点外的任意一点P的连线的斜率之积是何常数，写出类比结论．

解答：解：设经过椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)中心的任意弦AB，且 A（x₁，y₁），则B（-x₁，-y₁），P（x₀，y₀），则k_AP•k_BP=

y 2 0 - y 2 1

x 2 0 - x 2 1

①
由椭圆方程得y²=b²（1-

x2

a2

），∴①式即为k_AP•k_BP=

b2(1- x02 a2 ) -b2(1- x2 a2  )

x02-x12

=-

b2

a2

故答案为：
经过椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)中心的任意弦的两端点与椭圆上除这两个端点外的任意一点P的连线的斜率之积为定值-

b2

a2

点评：本题考查类比推理，得出类比命题并论证命题的正确性是两方面需要解决的问题．