题目内容

如图，直线ll：y=2x与直线l2：y=-2x之间的阴影区域（不含边界）记为w，其左半部分记为w1，右半部分记为W2．
（1）分别用不等式组表示w1和w2：
（2）若区域W中的动点P（x，y）到l1，l2的距离之积等于4，求点P的轨迹C的方程；
（3）设不过原点的直线l与曲线C相交于Ml，M2两点，且与ll，l2如分别交于M3，M4两点．求证△OMlM2的重心与△OM3M4的重心重合．
【三角形重心坐标公式：△ABC的顶点坐标为A（xl，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则△ABC的重心坐标为（
x1+x2+x3
3
，
y1+y2+y3
3
）】
分析：（1）根据图象可知W1是直线y=2x和y=-2x左半部分之间的点的集合，W2是y=2x和y=-2x左半部分之间的点的集合进而可得答案．
（2）利用点到直线的距离公式，根据动点P（x，y）到l1，l2的距离之积等于4，建立等式，求得x和y的关系式，即点P的轨迹方程．
（3）先看当直线l与x轴垂直时设直线l的方程为x=a，进而求得M1M2，M3M4的中点坐标，判断出△OM1M2，△OM3M4的重心坐标都为（
2a
3
，0），再看
直线l1与x轴不垂直时，设出直线l的方程与P的轨迹方程联立，消去y，判别式大于0，设M1，M2的坐标，表示出x1+x2和y1+y2，设M3，M4的坐标把直线y=2x和y=mx+n表示出x3和x4，求得x3+x4=x1+x2，进而求得y3+y4=y1+y2，推断出△OM1M2的重心与△OM3M4的重心重合．
解答：解：（1）由图象可知W1：
y＜2x
y＞-2x
，W2：
y＞2x
y＜-2x
．
（2）由题意知，
|2x-y |
5
×
|2x+y|
5
=4得|
x2
5
-
y2
20
|=1，又P在W内，故有
x2
5
-
y2
20
=1．
（3）当直线l与x轴垂直时，可设直线l的方程为x=a（a≠O）．由于直线l，曲线C关于x轴
对称，且ll1与l2关于x轴对称，于是M1M2，M3M4的中点坐标都为（a，0），
所以△OM1M2，△OM3M4的重心坐标都为（
2a
3
，0），即它们的重心重合．
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=mx+n（n≠O），
由
4x2-y2=20
y=mx+n
，得（4-m2）x2-2mnx-n2-20=0，
由直线l与曲线C有两个不同交点，可知4-m2≠0，且
△=（2mn）2+4（4-m2）（n2+20）＞0…（1分）
设M1，M2的坐标分别为（xl，y1），（x2，y2）．
则xl+x2=
2mn
4-m2
，y1+y2═m （xl+x2）+2n
设M3，M4的坐标分别为（x3，x4），（x4，y4）．
由
y=2x
y=mx+n
与
y=-2x
y=mx+n
，得x3=
n
2-m
，x3=
n
2+m

从而x3+x4=
2mn
4-m2
=x1+x2
所以y3+y4=m （x3+x4）+2n=m （x1+x2）+2n=y1+y2
所以
0+x1+x2
3
=
0+x 3+x4
3
，
0+y1+y2
3
=
0+y3+y4
3

于是AOM1 M2的重心与△OM3M4的重心也重合．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生分析推理和数形结合的思想的运用综合性较强，运算量较大．
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