Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₅=30，a₁+a₃=8，n∈N^*．
（I）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）记b_n=2^a_n，求{b_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析：（I）设公差为d，由题意列方程组，解出a₁，d，由等差数列的通项公式可得a_n；
（Ⅱ）由（Ⅰ），可求得b_n，可判断{b_n}是以4为首项，4为公比的等比数列，利用等比数列的求和公式可得T_n．

解答：解：（I）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵S₅=30，∴

5a1+ 5×4 2 d=30 2a1+2d=8

，解得a₁=2，d=2，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2+（n-1）×2=2n；
（Ⅱ）由（Ⅰ），可知a_n=2n．
∵bn=2an，∴bn=4n，
又

bn+1

bn

=

4n+1

4n

=4（n∈N*），
∴{b_n}是以4为首项，4为公比的等比数列，
则T_n=b₁+b₂+…+b_n=4+4²+4³+…+4ⁿ=

4(1-4n)

1-4

=

4n+1

3

-

4

3

．

点评：本题考查等差数列、等比数列的综合问题，考查数列求和，属中档题．