Question

已知直三棱柱的三视图如图所示，是的中点．

（Ⅰ）求证：∥平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）试问线段上是否存在点，使与成 角？若存在，确定点位置，若不存在，说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）根据三视图知：三棱柱是直三棱柱，，连结，交于点，连结.由 是直三棱柱，得四边形为矩形，为的中点，又为中点，所以为中位线，所以 ∥所以 ∥平面

（Ⅱ）（Ⅲ）为线段中点

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证明：根据三视图知：三棱柱是直三棱柱，，连结，交于点，连结.由 是直三棱柱，

得四边形为矩形，为的中点.

又为中点，所以为中位线，所以 ∥，    2分

因为 平面，平面，

所以 ∥平面.            4分

（Ⅱ）解：由是直三棱柱，且，故两两垂直.

如图建立空间直角坐标系.                          5分

，则.

所以 ， 

设平面的法向量为，则有

所以  取，得.            6分

易知平面的法向量为.

由二面角是锐角，得 .

所以二面角的余弦值为.          8分

（Ⅲ）解：假设存在满足条件的点.

因为在线段上，，，故可设，其中.

所以 ，.               9分

因为与成角         10分

所以，解得，舍去.

所以当点为线段中点时，与成角.             12分

考点：空间线面平行的判定及二面角线线角的求解

点评：采用空间向量法求解立体几何问题首先要找到直线的方向向量和平面的法向量，直线的方向向量和平面的法向量垂直时，直线与平面平行；求二面角可先求出法向量的夹角，求两条异面直线所成角可首先求两直线的方向向量所成角