Question

实数x，y满足x+y=2

2

，则代数式

x2+y2

x2+y2- x2+y2 +3

的取值范围是

（1，

12

11

]

．

Answer 1

分析：设t=

x2+y2

，利用基本不等式求出t的范围，将代数式变形为关于（

1

t

）的分式函数，利用二次函数的单调性求出代数式的取值范围．

解答：解：设t=

x2+y2

，∵2（x²+y²）≥（x+y）²=8，∴t≥2
代数式

x2+y2

x2+y2- x2+y2 +3

=

t2

t2-t+3

=

1

1- 1 t + 3 t2

=

1

3( 1 t - 1 6 )2+ 11 12

．
∵0＜

1

t

≤

1

2

，g（

1

t

）=3(

1

t

-

1

6

)2+

11

12

在（0，

1

6

]单调递增；在[

1

6

，

1

2

]单调递减，
∴1＜(

1

t

-

1

6

)2+

11

12

≤

11

12

．
∴代数式的取值范围是（1，

12

11

]．

点评：本题考查了利用函数的单调性求函数的值域，考查了学生分析解答问题的能力，考查了换元法的应用，对代数式的有效变形是解答的关键，体现了函数思想．