Question

过抛物线x²=2px（p＞0）的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，O为坐标原点．
（I）证明：△ABO是钝角三角形；
（II）求△ABO面积的最小值；
（III）过点A作抛物线的切线交y轴于点C，求线段AC中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析：（I）欲证△ABO是钝角三角形，只需证明∠AOB的余弦值小于0即可．设出A，B点坐标，以及直线AB的方程，联立直线方程与抛物线方程，求x₁x₂，y₁y₂的，用向量的坐标公式求

OA

 •

OB

，再代入向量的夹角公式，求出∠AOB的余弦值，再判断正负即可．
（II）y轴把△ABO分成了两个三角形，分别是△AFO和△BFO，所以S_△ABO=s_△AFO+S_△BFO=

1

2

|OF||x1-x2|，再把（I）中求出的x₁x₂，x₁+x₂的值代入，就可用含k的式子表示S_△ABO，再求最值即可．
（III）先设出过点A的抛物线的切线方程，与抛物线方程联立，利用△=0，求出k，再带回切线方程，求C点坐标，这样就可找到AC中点的坐标，进而求出中点M的轨迹方程．

解答：解：（I）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB方程y=kx+

p

2

由

y=kx+ p 2 x2=2py

，得x²-2pkx-p²=0
∴x1x2=-p2，y1y2=

p2

4

∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=-p2+

p2

4

=-

3

4

p2＜0
∴cos∠AOB=

OA • OB

| OA || OB

＜0
∴∠AOB为钝角，△ABO为钝角三角形
（II）由（I）x₁x₂=-p2，x₁+x₂=2pk
∴S△ABO=

1

2

|OF||x1-x2|=

p

4

(x1+x2)2-4x1x2

=

p

4

4p2k2+4p2

=

p2

2

(1+k2)

≥

p2

2

当k=0时取等号
∴△ABO面积的最小值是

p2

2

（III）设过点A的切线方程为y=k（x-x₁）+y₁由

y=k(x-x1)+y1 x2=2py

得
x²-2pkx+2pkx₁-2py₁=0令△=4p²k²-4（2pkx₁-2py₁）=0解得k=

1

p

x1
∴切线方程为y=

1

p

x1(x-x1)+y1令x=0，得y=-

x12

p

+y1=-2y1+y1=-y1
∴线段AC中点M为（x，0）
∴点M的轨迹方程为y=0（x≠0）

点评：本题考查了直线与抛物线的位置关系，属于圆锥曲线的常规题，做题时要认真分析，找到正确解答．