Question

已知抛物线x²=2py（p＞0），过焦点F的动直线l交抛物线于A、B两点，抛物线在A，B两点处的切线相交于点Q．
（1）求

OA•

OB

的值；
（2）求点Q的纵坐标．

Answer 1

分析：（1）设直线l的方程为y=kx+

p

2

与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合向量的数量积公式，即可得解；
（2）求导函数，确定曲线在点A、B的切线方程，联立方程组，求得交点坐标，即可得到Q点的纵坐标．

解答：解：（1）∵F(0，

p

2

)，可设直线l的方程为y=kx+

p

2

由

y=kx+ p 2 x2=2py

可得x²-2pkx-p²=0…（2分）
设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），则x1+x2=2pk，x1x2=-p2…（3分）
∴y1y2=(kx2+

p

2

)•(kx1+

p

2

)=k2x1x2+

kp

2

(x1+x2)+

p2

4

=-k2p2+k2p2+

p2

4

=

p2

4

…（4分）
∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=-

3

4

p2
（2）∵x²=2py，∴y=

x2

2p

，∴y′=

x

p

∴抛物线在A、B两点处的切线的斜率分别为

x1

p

，

x2

p

∴在点A处的切线方程为y-y1=

x1

p

(x-x1)，
∴y=

x1

p

x-

x 2 1

2p

…（8分）
同理在点B的切线方程为y=

x2

p

x-

x 2 2

2p

联立方程组

y= x1 p x- x 2 1 2p y= x2 p x- x 2 2 2p

，∴

x=pk y=- p 2

即Q点的纵坐标为-

p

2

…（12分）

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的数量积公式，考查抛物线的切线方程，解题的关键是灵活运用向量知识，正确求出切线方程．