Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知

m

=(sin2A+sin2B，-1)，

n

=(1，sin2C-

3

sinAsinB)且

m

⊥

n

．
（1）求角C的大小；
（2）设f（x）=cos（ωx-C）-cos（ωx+C），（ω＞0）且f（x）的最小正周期是π，求f（x）在[0，

π

3

]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积公式，再结合正弦、余弦定理，即可求得C；
（2）先利用和、差的余弦公式化简函数，结合函数的周期，求得函数的解析式，从而可求f（x）在[0，

π

3

]上的最大值．

解答：解：（1）∵

m

=(sin2A+sin2B，-1)，

n

=(1，sin2C-

3

sinAsinB)且

m

⊥

n

．
∴sin²A+sin²B-sin2C+

3

sinAsinB=0
∴a²+b²-c²+

3

ab=0
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=-

3

2

∵C∈（0，π），∴C=

5π

6

（2）f（x）=cos（ωx-C）-cos（ωx+C）=2sinωxsinC=sinωx，
∵f（x）的最小正周期是π，∴ω=2
∴f（x）=sin2x
∵x∈[0，

π

3

]，∴2x∈[0，

2π

3

]
∴2x=

π

2

，即x=

π

4

时，f（x）在[0，

π

3

]上的最大值为1．

点评：本题考查向量知识的运用，考查正弦、余弦定理，考查三角函数的性质，属于中档题．