Question

已知椭圆：的离心率为，一条准线．

（1）求椭圆的方程；

（2）设为坐标原点，是上的点，为椭圆的右焦点，过点作的垂线与以为直径的圆交于两点．

①若=，求圆的方程；

②若是上的动点，求证：点在定圆上，并求该定圆的方程．

 

 

Answer 1

（1）；（2）或；（3）点在定圆上

【解析】

试题分析：（1）设椭圆的方程，用待定系数法求出的值；(2)根据圆的圆心坐标和半径求圆的标准方程.(3)直线和圆相交，根据半径，弦长的一半，圆心距求弦长，圆的弦长的常用求法：（1）几何法：求圆的半径，弦心距，弦长，则（2）代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式.（4）与圆有关的探索问题：第一步：假设符合条件的结论存在；第二步：从假设出发，利用直线与圆的位置关系求解；第三步，确定符合要求的结论存在或不存在；第四步：给出明确结果；第五步：反思回顾，查看关键点.

试题解析：【解析】
（1）由题意可知：，

解得，

所以椭圆的方程为

由①知：，设，

则圆的方程：

直线的方程：

所以圆的方程：或

②证明：设，

由①知，化简得

消去得：

所以点在定圆上.

考点：（1）椭圆的标准方程；（2）圆的标准方程；（3）与圆有关的探索问题.