Question

如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点。

（1）证明：AE⊥PD；
（2）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E-AF-C的余弦值。

Answer 1

解：（1）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形 因为E为BC的中点， 所以AE⊥BC 又BC∥AD，因此AE⊥AD 因为PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD， 所以PA⊥AE 而PA平面PAD，AD平面PAD且PA∩AD=A， 所以AE⊥平面PAD 又PD平面PAD， 所以AE⊥PD。
（2）设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH 由（1）知AE⊥平面PAD， 则∠EHA为EH与平面PAD所成的角 在Rt△EAH中，AE=， 所以当AH最短时，∠EHA最大， 即当AH⊥PD时，∠EHA最大 此时tan∠EHA=， 因此AH= 又AD=2， 所以∠ADH=45°， 所以PA=2 因为PA⊥平面ABCD，PA平面PAC， 所以平面PAC⊥平面ABCD 过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC， 过O作OS⊥AF于S，连接ES，则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角， 在Rt△AOE中，EO=AE·sin30°=，AO=AE·cos30°=， 又F是PC的中点，在Rt△ASO中，SO=AO·sin45°= 又 在Rt△ESO中，cos∠ESO= 即所求二面角的余弦值为。