Question

（2013•宁德模拟）在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

an

an+1

（n∈N⁺）．
（Ⅰ）设b_n=

1

an

，求证：数列{b_n}是等差数列；
（Ⅱ）若c_n=

an

n+1

，求数列{c_n}的前n项和s_n．

Answer 1

分析：（I）利用等差数列的定义证明即可；
（II）求出a_n，再求出C_n，利用裂项相消法求S_n．

解答：解：（I）∵a₁=1，a_n+1=

an

an+1

⇒

1

an+1

-

1

an

=1，bn=

1

an

，
∴数列{b_n}是首项为1，公差为1的等差数列．
（II）由（I）知b_n=n，a_n=

1

n

，
∴C_n=

an

n+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴S_n=C₁+C₂+…+C_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

点评：本题考查等差数列、数列求和等基础知识；考查推理论证及运算求解能力．