Question

(本大题满分14分)

已知数列和满足：,，，其中为实数，为正整数.

（Ⅰ）对任意实数，证明:数列不是等比数列；

（Ⅱ）证明：当时，数列是等比数列；

（Ⅲ）设（为实常数）, 为数列的前项和.是否存在实数，使得对任意正整数，都有?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.

 

Answer 1

【答案】

解： （Ⅰ）证明：假设存在一个实数，使｛a_n｝是等比数列，则有

即（）²=²矛盾.

所以｛a_n｝不是等比数列.                                       …… 4分

(Ⅱ)解：因为b_n+1=(-1)ⁿ⁺¹［a_n+1-3(n-1)+21］=(-1)ⁿ⁺¹(a_n-2n+14)

=-(-1)ⁿ·（a_n-3n+21）=-b_n  

当λ≠－18时，b₁=-(λ+18) ≠0,由上可知b_n≠0，∴(n∈N⁺).

故当λ≠-18时，数列｛b_n｝是以－（λ＋18）为首项，－为公比的等比数列…8分

（Ⅲ)由（2）知，当λ=-18,b_n=0,S_n=0,不满足题目要求.      ……9分

∴λ≠-18，故知b_n= -（λ+18）·（－）^n-1，于是可得

S_n=--             ………10分

要使a<S_n<b对任意正整数n成立，

即a<-(λ+18)·［1－（－）ⁿ］<b(n∈N⁺) , 

当n为正奇数时，1<f(n)

∴f(n)的最大值为f(1)=,         f(n)的最小值为f(2)= ,     …………………………  12分

于是，由①式得

当a<b3a时，由，不存在实数满足要求

当b>3a存在λ，使得对任意正整数n,都有a<S_n<b,且λ的取值范围是）…14分

 

【解析】略