Question

(1-x)4(1-

x

)3的展开式中x²的系数是

-6

．

Answer 1

分析：根据题意，由二项式定理可得（1-x）⁴与（1-

x

）³的展开式的通项，由因式乘法法则分析可得要使(1-x)4(1-

x

)3的展开式中出现x²项，有2种情况，①（1-x）⁴中出x²项，（1-

x

）³中出常数项，②（1-x）⁴中出x项，（1-

x

）³中出x项即

x

的平方项，由二项式定理分别求出其系数，进而将其相加可得答案．

解答：解：根据题意，（1-x）⁴的展开式的通项为T_r+1=C₄^r（-x）^r=（-1）^rC₄^r x^r，
（1-

x

）³的展开式的通项为T_r+1=C₃^r（-

x

）^r=（-1）^rC₄^r

x

^r，
要使(1-x)4(1-

x

)3的展开式中出现x²项，有2种情况，
①（1-x）⁴中出x²项，（1-

x

）³中出常数项，其系数为（-1）²C₄²×（-1）⁰C₃⁰

x

⁰=6，
②（1-x）⁴中出x项，（1-

x

）³中出x项即

x

的平方项，其系数为（-1）¹C₄¹×（-1）¹C₃¹

x

⁰=-12，
则其展开式中x²的系数是6-12=-6；
故答案为-6．

点评：本题考查二项式定理的应用，解题的关键是由因式乘法的运算法则，分析出得到x²项的情况．