Question

如图，已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，BC=2AD．
（Ⅰ）求证：AB⊥PD；
（Ⅱ）在线段PB上找出一点E，使AE∥平面PCD，指出点E的位置并加以证明．
（Ⅲ）若AB=

1

2

BC=1，PA=

2

2

，求直线PA与平面PDB所成的角．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由PA⊥平面ABCD，推知PA⊥AB．又AB⊥AD，PA∩AD=A，从而有AB⊥平面PAD，证得AB⊥PD．
（Ⅱ）取线段PB的中点E，PC的中点F，连接AE，EF，DF，则EF是△PBC中位线．可推知四边形EFDA是平行四边形，转化出AE∥DF．再由线面平行的判定定理得证．
（Ⅲ）要求线面角，关键是找平面的垂线，取BD的中点H，连接AH，PH，根据AD=AB，得BD⊥AH因为BD⊥PA，从而BD⊥平面PAH，故可求．

解答：解：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴PA⊥AB．
∵AB⊥AD，PA∩AD=A，
∴AB⊥平面PAD，
∵PD?平面PAD，
∴AB⊥PD．…（4分）
（Ⅱ）取线段PB的中点E，PC的中点F，连接AE，EF，DF，
则EF是△PBC中位线．
∴EF∥BC，EF=

1

2

BC
∵AD∥BC，AD=

1

2

BC，
∴AD∥EF，AD=EF．
∴四边形EFDA是平行四边形，
∴AE∥DF．
∵AE?平面PCD，DF?平面PCD，
∴AE∥平面PCD．
∴线段PB的中点E是符合题意要求的点．…（9分）
（Ⅲ）取BD的中点H，连接AH，PH，
因为AD=AB，则BD⊥A
又因为BD⊥PA，
所以BD⊥平面PAH，
故∠APH为直线PA与平面PDB所成的角，
因为PH=AH=

2

2

，PA⊥AH，
所以∠APH=

π

4

，即直线PA与平面PDB所成的角为

π

4

．  …（15分）

点评：本题以四棱锥为载体，主要考查了线面平行与线线平行，线面垂直和线线垂直间的转化，考查了转化问题的能力，考查线面角．