Question

用6种颜色给右图四面体A-BCD的每条棱染色，要求每条棱只染一种颜色且共顶点的棱染不同的颜色，则不同的染色方法共有（　　）种．

A．4080

B．3360

C．1920

D．720

Answer 1

分析：面体的对棱可以涂同一种颜色，也可以图不同的颜色．①若所有相对的棱涂同一种颜色，则一共用了三种颜色；②若相对3对对棱中有2对对棱涂同色，则一共用了4种颜色；③若相对3对对棱中只有1对对棱涂同色，则一共用了5种颜色；④若所有的棱的颜色都不相同，则用了6种颜色．求出每种情况下的不同的涂色方案数，相加，即得所求．

解答：解：四面体的对棱可以涂同一种颜色，也可以图不同的颜色，
①若所有相对的棱涂同一种颜色，则一共用了三种颜色，不同的涂色方案共有

A

3 6

=120种；
②若相对3对对棱中有2对对棱涂同色，则一共用了4种颜色，不同的涂色方案共有

C

2 3

•

A

4 6

=1080种；
③若相对3对对棱中有1对对棱涂同色，则一共用了5种颜色，不同的涂色方案共有

C

1 3

•

A

5 6

=2160种；
④若所有的棱的颜色都不相同，则用了6种颜色，不同的涂色方案共有

A

6 6

=720种．
综上可得，总的涂法种数是120+1080+2160+720=4080种，
故选A．

点评：本题考点是计数原理的运用，考查了分步原理与分类原理，解题的关键是理解题意，将问题分类解决，属于中档题．