题目内容

已知 $数学公式$ ≤x≤ $数学公式$ ，则
（1）1-x的取值范围是[ $数学公式$ ]；
（2）x（1-x）的取值范围是[ $数学公式$ ]．
以上命题是否正确，若错误予以纠正；若正确，请予以证明．

解：（1）该命题正确．
∵ $\text{[math]}$ ≤x≤ $\text{[math]}$ ，∴- $\text{[math]}$ ≤-x≤- $\text{[math]}$ ．∴ $\text{[math]}$ ≤1-x≤ $\text{[math]}$ ，
即1-x的取值范围是[ $\text{[math]}$ ]．
（2）该命题是假命题．
∵x（1-x）=-x²+x=-（x- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ 在[ $\text{[math]}$ ]上单调递增，在[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]上单调递减．
∴当x= $\text{[math]}$ 时，取到最大值是 $\text{[math]}$ ；当x= $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 时，取到最小值 $\text{[math]}$ ，
故x（1-x）的取值范围是[ $\text{[math]}$ ]
分析：（1）由x的范围求出-x的范围，再求出1-x的范围，注意不等式两边同乘负数，不等号要发生改变；
（2）利用配方法将x（1-x）进行变形，判断出在区间[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]上的单调性，从而求出最值，即求出x（1-x）的取值范围．
点评：本题的考点是在给定区间上求函数的最值，对于简单的函数利用不等式求解，注意同乘一个负数时不等号方向改变，对于二次函数用配方法变形后，判断出在区间上的单调性，再求最值和值域．