Question

已知函数f（x）=log_ax（x∈[1，6-a]）的最大值为

1

2

，其中常数a＞0，且a≠1．
（1）求a的值；
（2）设函数g（x）满足：①g（x）是定义在R上的偶函数，②对?x∈R，g（x+2）=g（x），③当x∈[1，6-a]时，g（x）=f（x）．求函数g（x）在R上的解析式．

Answer 1

分析：（1）由f（1）=0可判断f（x）为增函数，从而有f（6-a）=

1

2

，解出即可；
（2）由②知函数g（x）的周期为2，由③知当x∈[1，2]时，g（x）=log₄x，先求x∈[-1，1]时，g（x）表达式，则对?x∈R，存在k∈Z，使得x∈[2k-1，2k+1），由x-2k∈[-1，1）可求g（x）；

解答：解：（1）由a＞0，a≠1，6-a＞1知0＜a＜5且a≠1，
当x∈[1，6-a]时，f（x）=log_ax是单调函数，由f(1)=0＜

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2

知f（x）是单调增函数，
故f（x）_max=f（6-a）=log_a（6-a）=

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2

，
即6-a=

a

，(

a

+3)(

a

-2)=0，解得a=4；
（2）由②知函数g（x）是周期为2的周期函数，
由③知当x∈[1，2]时，g（x）=log₄x，
由①知当x∈[-1，1]时，|x|≤1，2-|x|∈[1，2]，g（x）=g（-|x|）=g（2-|x|）=log₄（2-|x|）．
对?x∈R，存在k∈Z，使得x∈[2k-1，2k+1），x-2k∈[-1，1），g（x）=g（x-2k）=log₄（2-|x-2k|）．    
故函数g（x）在R上的解析式为g（x）=log₄（2-|x-2k|），其中x∈[2k-1，2k+1），k∈Z．

点评：本题考查函数奇偶性、周期性、单调性的综合应用，考查函数解析式的求解，综合性较强，运算量较大．