Question

已知等差数列{a_n}满足a₃=5，a₅-2a₂=3，又数列{b_n}中，b₁=3且
（I）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（II）若数列{a_n}，{b_n}的前n项和分别是S_n，T_n，且．求数列{c_n}的前n项和M_n；
（Ⅲ）若M_n对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）设等差数列{a_n}的公差为d，则由题设得：，由此能求出数列{a_n}的通项公式；由3b_n-b_n+1=0，知，由此能求出数列{b_n}的通项公式．
（II）由（I）可得，．，由此利用错位相减法能求出M_n=，由此能求出若M_n对一切正整数n恒成立，实数m的取值范围．
解答：解：（I）设等差数列{a_n}的公差为d，
则由题设得：
即，
解得，
∴．
∵3b_n-b_n+1=0∴，
∴数列{b_n}是以b₁=3为首项，公比为3的等比数列．
∴．
（II）由（I）可得，
．
∴．
∴M_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n-1+c_n

（1）-（2）得：=，
∴M_n=．…（3）
M_n+1-M_n=
=9（n+1）×3ⁿ＞0，
∴当n=1时，∴M_n取最小值，M₁=9，
∴9即
当m＞1时，恒成立；
当0＜m＜1时，由=log_mm，得，
∴．
∴实数m的取值范围是．
点评：本小题主要考查数列通项、错位求和与不等式等知识，考查化归、转化、方程的数学思想方法，以及运算求解能力．
（删除第二个II）