Question

（2013•广西一模）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c（其中a≤b≤c），设向量

m

=(cosB，sinB)，

n

=(0， 

3

)，且向量

m

-

n

为单位向量．
（1）求∠B的大小；
（2）若b=

3

， a=1，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）根据向量

m

=(cosB，sinB)，

n

=(0， 

3

)，且向量

m

-

n

为单位向量，可得cos2B+(sinB-

3

)2=1，由于B为三角形的内角，由a≤b≤c，故可得∠B的大小；
（2）根据正弦定理得

1

sinA

=

3

sin π 3

，结合a≤b≤c，可得A=

π

6

，从而C=

π

2

，故可求△ABC的面积．

解答：解：（1）∵

m

-

n

=(cosB， sinB-

3

)，向量

m

-

n

为单位向量--------------------（2分）
∴cos2B+(sinB-

3

)2=1--------------------（4分）
∴sinB=

3

2

又B为三角形的内角，由a≤b≤c，故B=

π

3

--------------------（6分）
（2）根据正弦定理，知

a

sinA

=

b

sinB

，即

1

sinA

=

3

sin π 3

，
∴sinA=

1

2

，又a≤b≤c，∴A=

π

6

--------------------（9分）
∵B=

π

3

，∴C=

π

2

，
∴△ABC的面积=

1

2

ab=

3

2

----------------------（12分）

点评：本题以向量为载体，考查向量的数量积运算，考查正弦定理的运用，有一定的综合性．