Question

设F₁，F₂是椭圆的两个焦点，点P是该椭圆上的动点，若∠F₁PF₂的最大值为．
（1）求该椭圆的方程；　
（2）求以该椭圆的长轴AB为一底，另一底CD的两端点也在椭圆上的梯形ABCD的最大面积．

Answer 1

解：（1）由于∠F₁PF₂的最大值为，则P 的坐标为（0，±1），即c=1
∵b=1，∴
∴椭圆的方程为：
（2）由于AB∥CD，所以C，D关于y轴对称，设
则梯形的面积，
记f（θ）=（cosθ+1）sinθ，则f'（θ）=cos²θ-sin²θ+cosθ=2cos²θ+cosθ-1=0得，即
当时，f'（θ）＞0，f（θ）在单调递增；
当时，f'（θ）＜0，f（θ）在单调递增；
所以，故
分析：（1）根据∠F₁PF₂的最大值为，可得c=1，又b=1，所以，从而可得椭圆的方程；
（2）设，则梯形的面积，构建函数f（θ）=（cosθ+1）sinθ，确定函数的单调性，从而可得函数的最值，即可求得梯形ABCD的最大面积．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查求函数的最值，解题的关键是正确设点，利用三角函数解决问题．