Question

数列{a_n}中，a₁=8，a₄=2且满足a_n+2=2a_n+1-a_n，n∈N^*
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|，求S_n；
（3）设，是否存在最大的整数m，使得对任意n∈N^*，均有成立？若存在，求出m的值：若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由条件a_n+2=2a_n+1-a_n，可得，从而{a_n}为等差数列，利用a₁=8，a₄=2可求公差，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（2）利用10-2n≥0则n≤5，确定数列中的正数项，再进行分类讨论；
（3先裂项求和，再根据对任意n∈N*成立，得对任意n∈N*成立，利用的最小值是，可知，从而存在最大整数m=7．
解答：解：（1）由题意，，∴{a_n}为等差数列，设公差为d，
由题意得2=8+3d⇒d=-2，∴a_n=8-2（n-1）=10-2n
（2）若10-2n≥0则n≤5，n≤5时，S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=
n≥6时，S_n=a₁+a₂+…+a₅-a₆-a₇…-a_n=S₅-（S_n-S₅）=2S₅-S_n=n²-9n+40
故
（3）∵∴
若对任意n∈N*成立，即对任意n∈N*成立，∵的最小值是，∴，∴m的最大整数值是7．
即存在最大整数m=7，使对任意n∈N*，均有
点评：本题主要考查等差数列轭通项公式，考查数列的求和及恒成立问题，有一定的综合性．