Question

已知P是直线3x+4y+12=0上的动点，PA、PB是圆C：x²+y²-2x=0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，求四边形PACB面积的最小值．

Answer 1

分析：由P在直线3x+4y+12=0上，设出P坐标，由圆方程找出圆心C坐标及半径r，根据题意得到四边形PACB面积等于三角形PAC面积的2倍，得出|PC|最小时，四边形PACB面积最小，利用两点间的距离公式表示出|PC|，利用二次函数的性质求出|PC|的最小值，即可确定出四边形PACB面积的最小值．

解答：解：∵点P在直线3x+4y+12=0上，
∴设P（x，-3-

3

4

x），
由圆C方程变形得：（x-1）²+y²=1，即C点坐标为（1，0），
可得S_PACB=2S_PAC=|PA|•|AC|=|PA|，
∵|AP|²=|PC|²-|AC|²=|PC|²-1，
∴当|PC|最小时，|AP|最小，四边形PACB的面积最小，
∵|PC|²=（1-x）²+（3+

3

4

x）²=

25

16

（x+

4

5

）²+9，
∴|PC|²最小为9，
则S_PACB最小为2

2

．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，根据题意得出“当|PC|最小时，|AP|最小，四边形PACB的面积最小”是解本题的关键．