Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos

A

2

=

2 5

5

，

AB

•

AC

=3，则△ABC的面积为

 

．

Answer 1

分析：根据平面向量的数量积的运算法则化简

AB

•

AC

=3，然后利用二倍角的余弦函数公式化简，把cos

A

2

的值代入即可求出AB•AC的值，又根据cos

A

2

的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin

A

2

的值，进而求出sinA的值，然后利用三角形的面积公式，由AB•AC的值及sinA的值，即可求出△ABC的面积．

解答：解：由cos

A

2

=

2 5

5

，得到

AB

•

AC

=AB•ACcosA=AB•AC（2cos2

A

2

-1）=

3

5

AB•AC=3，
所以AB•AC=5，
由A∈（0，π）得到

A

2

∈（0，

π

2

），cos

A

2

=

2 5

5

，
所以sin

A

2

=

1-( 2 5 5 )2

=

5

5

，则sinA=2sin

A

2

cos

A

2

=

4

5

，
则△ABC的面积S=

1

2

AB•ACsinA=

1

2

×5×

4

5

=2．
故答案为：2

点评：此题考查学生掌握平面向量的数量积的运算法则，灵活运用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简求值，灵活运用三角形的面积公式化简求值，是一道中档题．