Question

已知函数f（x）=ax²-2

4+2b-b2

x，g（x）=-

1-(x-a)2

，（a，b∈R）
（Ⅰ）当b=0时，若f（x）在[2，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
（Ⅱ）求满足下列条件的所有实数对（a，b）：当a是整数时，存在x₀，使得f（x₀）是f（x）的最大值，g（x₀）是g（x）的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当b=0时，f（x）=ax²-4x，讨论a的取值，结合二次函数的单调性建立a的不等关系即可；
（Ⅱ）讨论a为0时不可能，要使f（x）有最大值，必须满足

a＜0 4+2b-b2≥0

，求出此时的x=x₀，根据g（x）取最小值时，x=x₀=a，建立等量关系，结合a是整数，求出a和b的值．

解答：解：（Ⅰ）当b=0时，f（x）=ax²-4x，
若a=0，f（x）=-4x，则f（x）在[2，+∞）上单调递减，不符题意，
故a≠0，要使f（x）在[2，+∞）上单调递增，必须满足

a＞0 4 2a ≤2

，
∴a≥1．
（Ⅱ）若a=0，f(x)=-2

4+2b-b2

x，则f（x）无最大值，故a≠0，
∴f（x）为二次函数，
要使f（x）有最大值，必须满足

a＜0 4+2b-b2≥0

，即a＜0且1-

5

≤b≤1+

5

，
此时，x=x0=

4+2b-b2

a

时，f（x）有最大值．
又g（x）取最小值时，x=x₀=a，
依题意，有

4+2b-b2

a

=a∈Z，
则a2=

4+2b-b2

=

5-(b-1)2

，
∵a＜0且1-

5

≤b≤1+

5

，
∴0＜a2≤

5

(a∈Z)，得a=-1，此时b=-1或b=3．
∴满足条件的实数对（a，b）是（-1，-1），（-1，3）．

点评：本题主要考查了函数单调性的应用，以及函数的最值及其几何意义，属于基础题．