Question

过抛物线y²=4x焦点的直线l的倾斜角为

π

3

，且l与抛物线相交于A、B两点，O为原点，那么△AOB的面积为

 

．

Answer 1

分析：S△AOB=

1

2

AB×d，其中d为l到AB的距离，或者把△AOB分成△OFA与OFB，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则S△AOB=

1

2

OF|y₁-y₂|．

解答：解：抛物线y²=4x焦点F（1，0），l的方程为y=tan

π

3

（x-1），即y=

3

（x-1），与抛物线方程y²=4x联立消去x得y²-

4 3

3

y-4=0，得y²-

4 3

3

y-4=0，则S△AOB=S△OFA+S△OFB=

1

2

OF|y₁-y₂|=

1

2

OF

(y1+y2)2-4y1y2

=

1

2

×1×

( 4 3 3 )2-4(-4)

=

4

3

3

．
故答案为：

4

3

3

．

点评：本题三角形借助于抛物线这一特殊背景出现，因此若考虑到抛物线的定义，便会得出如上的解答过程．当然用S_△AOB=

1

2

AB×d，其中d为l到AB的距离也完全可以．