Question

已知函数f(x)=sin(2x-

π

6

)+2cos²x．
（1）求f（x）的最大值以及使f（x）取得最大值的x的集合；
（2）求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）把函数f（x）利用两角差的正弦函数公式、特殊角的三角函数值及二倍角的余弦函数公式化简后，化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的角度等于2kπ+

π

2

时，正弦函数最大值为1得到f（x）的最大值，并求出此时x的范围即可得到x的集合；
（2）根据正弦函数的增区间为（2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

）列出关于x的不等式，即可求出x的范围．

解答：解：（1）f（x）=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x+1+cos2x=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+1=sin(2x+

π

6

)+1．
∴f（x）的最大值为2．
又由2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，可得x=kπ+

π

6

，
故使f（x）取得最大值时x的集合为{x|x=kπ+

π

6

，k∈Z}．
（2）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，
可得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
∴f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）．

点评：此题考查学生灵活运用二倍角的余弦函数公式、两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，掌握正弦函数的单调性及单调区间，是一道中档题．