Question

已知⊙O方程为，圆外有一定点，求过点A且和⊙O相切的动圆圆心的轨迹。

        

                                              

Answer 1

解法一：设动圆圆心为P，定圆圆心为(0,1)，半径为1，由题可知动圆半径为。

         ⊙P与定⊙O作外切时，有

         ⊙P与⊙O内切时有

         综上有

         即    

         化简得               为所求动圆圆心的轨迹方程。

         解法二：由解法一得到，这说明P点是到两个定点O (0,0)，A ( 4,0)的距离的差的绝对值都是常数1。（1 < 4）的点其轨迹是以O点A点为焦点，对称中心为

O′(2,0)，对称点为坐标轴            Ⅲ 2a = 1  2c = 4的双曲线。

        

         ∴ 轨迹方程为      

解析:

动圆的定圆相切分外切、内切两种情况，若两圆外切，则圆心距等于两圆半径之和，若两圆内切，则圆心距等于两圆半径之差，动点满足的几何条件找到了，轨迹方程可求。本题对动点满足的几何关系分析得出符合圆锥曲线的定义，故而用解法二更为简捷些。