Question

方程x²-2ax+4=0的两根均大于1，则实数a的范围是

 

．

Answer 1

分析：方法一：先设方程x²-2ax+4=0的两根为x₁、x₂，方程x²-2ax+4=0的两根均大于1，故两根之和大于2，两根与1的差的乘积大于0．将此两不等式转化为关于参数a的不等式，解出a的范围即所求．
方法二：由题设方程相应的函数与x轴的两个交点都在直线x=1的右侧，且开口方向向上，对称轴大于1，由此可以将这些特征转化为

△≥0 f(1)＞0 a＞1

，解之即得a的范围

解答：解：解法一：利用韦达定理，设方程x²-2ax+4=0的两根为x₁、x₂，
则

(x1-1)(x2-1)＞0 (x1-1)+(x2-1)＞0 △≥0

∴

4-2a+1＞0 2a-2＞0 4a 2-16＞0

解之得  2≤a＜

5

2

．
解法二：利用二次函数图象的特征，设f（x）=x²-2ax+4，
则

△≥0 f(1)＞0 a＞1

，

4a 2-16＞0 1-2a+4＞0 a＞1

解之得2≤a＜

5

2

．
故应填   2≤a＜

5

2

点评：本题考查二次方程根的分布知识，方法一利用根与系数的关系转化，方法二利用函数图象的特征进行转化，这是解此类题时常用的两种方法．