Question

已知数列{a_n}满足a₁=

7

6

，点（2S_n+a_n，S_n+1）在f（x）=

1

2

x+

1

3

的图象上：
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若c_n=（a_n-

2

3

）n，T_n为c_n的前n项和，求T_n．

Answer 1

分析：（1）由已知代入可得，Sn+1=

1

2

(2Sn+an)+

1

3

，利用a_n+1=S_n+1-S_n可得数列的项之间的关系，构造等比数列即可求解通项
（2）由（1）可求 c_n=（a_n-

2

3

）n=

n

2n

，结合数列的通项的特点，考虑利用错位相减求和即可

解答：解：（1）解∵点（2S_n+a_n，S_n+1）在f（x）=

1

2

x+

1

3

的图象上
∴Sn+1=

1

2

(2Sn+an)+

1

3

即Sn+1-Sn=

1

2

an+

1

3

∴an+1=

1

2

an+

1

3

∴an+1-

2

3

=

1

2

(an-

2

3

)
∴{an-

2

3

}是以a1-

2

3

=

1

2

为首项，以

1

2

为公比的等比数列
∴an-

2

3

=

1

2

•(

1

2

)n-1
∴an=

2

3

+(

1

2

)n
（2）∵c_n=（a_n-

2

3

）n=

n

2n

∴Tn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

 …①

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+…+

n

2n+1

．②
①-②得

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-

n

2n+1

∴Tn=2-

1

2n-1

-

n

2n

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列求解数列的通项公式及数列的错位相减求和方法的应用，而错位相减的求和方法是数列求和方法中非常重要的方法，要注意掌握