题目内容

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长和底面边长都等于2，D是BC上一点，且AD⊥BC．
（1）求证：A₁B∥平面ADC₁；
（2）求截面ADC₁与侧面ACC₁A₁所成的二面角Q-AC₁-C的正切．
（3）求B₁到平面ADC₁的距离．

（1）证明：连接A₁C，交AC₁于点O，连接OD．

由ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，得四边形ACC₁A₁为矩形，O为A₁C的中点．
又AD⊥BC，所以D为BC中点，所以OD为△A₁BC中位线，所以A₁B∥OD，
因为A₁B?平面ADC₁，OD?平面ADC₁，
所以A₁B∥平面ADC₁；
（2）解：过D作AC的垂线，垂足为H，过D作AC₁的垂线，垂足为N，连接NH，则∠DNH为截面ADC₁与侧面ACC₁A₁所成的二面角
∵在△ADC₁中，AD= $\text{[math]}$ ，DC₁= $\text{[math]}$ ，AC₁=2 $\text{[math]}$ ，∴∠ADC₁=90°，∴DN= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵DH⊥AC，∴DH= $\text{[math]}$ ，∴NH= $\text{[math]}$ ，
∴tan∠DNH= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
（3）解：设B₁到平面ADC₁的距离为h，则 $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴h= $\text{[math]}$
分析：（1）连接A₁C，交AC₁于点O，连接OD，利用OD为△A₁BC中位线，可得A₁B∥OD，利用线面平行的判定，可证A₁B∥平面ADC₁；
（2）过D作AC的垂线，垂足为H，过D作AC₁的垂线，垂足为N，连接NH，则∠DNH为截面ADC₁与侧面ACC₁A₁所成的二面角，从而可求截面ADC₁与侧面ACC₁A₁所成的二面角Q-AC₁-C的正切值；
（3）设B₁到平面ADC₁的距离为h，利用 $\text{[math]}$ 即可得到结论．
点评：本题考查线面平行，考查三棱锥体积的计算，考查面面角，掌握线面平行的判定，正确作出面面角是关键．