Question

7．已知A，B，C是椭圆M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$上的不同三点，其中点A的坐标为（2$\sqrt{3}$，0），BC过椭圆的中心，点C在第一象限，且满足∠BAC=90°，|BC|=2|AC|．
（1）求椭圆M的方程；
（2）过点（0，t）的直线l（斜率存在）与椭圆M交于P，Q两点，设D为椭圆与y轴负半轴的交点，且|DP|=|DQ|，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意求出C的坐标，把C的坐标代入椭圆方程，再由$a=2\sqrt{3}$可得b，则椭圆方程可求；
（2）由已知得到D的坐标，当直线l的斜率为0时，直接可得t的范围，当直线l的斜率不为0时，设出直线l的方程，和椭圆方程联立，结合判别式及一元二次方程根与系数的关系求得实数t的取值范围．

解答 解：（1）∵|BC|=2|AC|且BC过点（0，0），则|OC|=|AC|．
∵∠OCA=90°，∴C（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）．
由题意知，$a=2\sqrt{3}$，则椭圆M的方程为$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$．
将点C（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，解得b²=4．
∴椭圆M的方程为$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）由题意知D（0，-2），设直线l的斜率为k，
当k=0时，显然-2＜t＜2，
当k≠0时，设直线l：y=kx+t，
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\\{y=kx+t}\end{array}\right.$，消去y得（1+3k²）x²+6ktx+3t²-12=0，
由△＞0可得：${t}^{2}＜4+12{k}^{2}\\;\\;\\;\\;\\;\\;①$     ①
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中点为H（x₀，y₀），
则${x}_{0}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=-\frac{3kt}{1+3{k}^{2}}$，${y}_{0}=k{x}_{0}+t=\frac{t}{1+3{k}^{2}}$，
∴H（$-\frac{3kt}{1+3{k}^{2}}$，$\frac{t}{1+3{k}^{2}}$）．
∵|DP|=|DQ|，∴DH⊥PQ，则${k}_{DH}=-\frac{1}{k}$，
∴$\frac{\frac{t}{1+3{k}^{2}}+2}{-\frac{3kt}{1+3{k}^{2}}-0}=-\frac{1}{k}$，化简得t=1+3k²      ②
由①②得1＜t＜4．
综上所述，t∈（-2，4）．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆方程的求法，考查数学转化思想方法，涉及直线与圆锥曲线的关系问题，常采用联立直线方程和圆锥曲线方程，利用根与系数的关系求解，是中档题．