Question

已知函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为实数，a≠0，x∈R），
（1）若f（-1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求F（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围；
（3）设mn＜0，m+n>0，a>0，且函数f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）是否大于0？

Answer 1

解：（1）因为f（-1）=0，
所以a-b+1=0
因为f（x）的值域为[0，+∞），
所以
所以b²-4（b-1）=0
解得b=2，a=1
所以f（x）=（x+1）²
所以。
（2）因为g（x）=f（x）-kx=x²+2x+1-kx=x²+（2-k）x+1
=
所以当或时g（x）单调，
即k的取值范围是（-∞，-2]或[6，+∞）时，g（x）是单调函数。
（3）因为f（x）为偶函数，
所以f（x）=ax²+1
所以
因为mn＜0，依条件设m>0，则n＜0
又m+n>0
所以m>-n>0
所以|m|>|-n|
此时F（m）+F（n）=am²+1-an²-1=a（m²-n²）>0，
即F（m）+F（n）>0。