Question

设函数f（x）=2sinxcosx-cos2x+1．
（1）求f(

π

2

)；
（2）求f（x）的最大值和最小正周期．

Answer 1

分析：（1）由已知中函数f（x）=2sinxcosx-cos2x+1．将x=

π

2

代入可得f(

π

2

)的值；
（2）利用倍角公式及和差角公式，将函数f（x）=2sinxcosx-cos2x+1的解析式化为正弦型函数的形式，进而根据正弦型函数的性质，可得函数的最大值和最小正周期

解答：解：（1）∵f（x）=2sinxcosx-cos2x+1
当x=

π

2

时，sin

π

2

=1，cos

π

2

=0，cos（2×

π

2

）=-1
∴f(

π

2

)=2…（6分）
（2）f(x)=sin2x-cos2x+1=

2

sin(2x-

π

4

)+1…（10分）
∵A=

2

，B=1
∴f（x）的最大值为

2

+1，
∵ω=2，
∴f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π．…（12分）

点评：本题考查的知识点是倍角公式，三角函数的周期性，三角函数的最值，三角函数的函数值，是三角函数的简单综合应用，难度中档．